众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希腊数学家欧几里得用反证法证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2^P-1”（其中指数P也是素数）的形式，如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127、2^13-1=8191等；这种神奇的素数在1897年被命名为“梅森素数”。而“周氏猜测”是中国数学家和语言学家周海中在1992年提出的关于梅森素数分布的重要猜想，它已成为当今科学探究的难点之一。下面我们就简要谈谈梅森素数和周氏猜测。

1.梅森素数

2^P-1型素数被称为梅森素数，它由梅森数（常记作Mp=2^P-1）而来；梅森素数和梅森数均以17世纪法国数学家马林·梅森命名，因为他在这方面的研究成果较为卓著，加上他是当时欧洲科学界一位独特人物。至今为止，人类只找到51个梅森素数；由于这种素数优美且稀少，而被人们誉为“数海明珠”。

梅森素数与完美数有着十分密切的关系，人们一开始先探究完美数。公元前6世纪的古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯是最早探究完美数的人，那时他已知道6和28这两个自然数是完美数了。所谓完美数是这样的数，它是真因子(即除了自身以外的约数 )的和。

公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在其名著《几何原本》中首次给出了寻找完美数的方法，被数学界誉为欧几里得定理：如果2^P-1是素数，则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。他的发现为寻找新的完美数提供了一种可靠的方法。

1730年，瑞士数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉给出了一个出色的定理：每一个偶完美数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然数。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。

由于梅森素数与偶完美数有着特殊关系，并具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家（包括数学大师笛卡儿、费马、欧拉、高斯、哈代、图灵等）和无数的业余数学爱好者对这种素数进行探究。

1996年初，美国数学家和程序设计师乔治•沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用，这就是著名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可尝试寻找梅森素数了。

自GIMPS项目启动之后，有1/3的梅森素数是在这个项目中被发现的。最近一次的突破性工作发生在2018年底，人们找到了目前最大的梅森素数，也是迄今已知的最大素数。不久前，人们还发现小于第48个梅森素数的所有自然数中，不再可能有新的梅森素数。

目前，全球已有200多个国家和地区26万多人参与GIMPS项目，并动用了超过272万核中央处理器（CPU）来寻找新的梅森素数。因此，仅从人力、物力方面来说，对梅森素数的探究在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。

梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。另外，它还可用来测试计算机硬件运算是否正确。

2.周氏猜测

人们在寻找梅森素数的同时，对这种素数的分布规律也做了研究。例如法国、英国、德国、美国、印度的数学家都尝试过这方面的研究，并以近似表达式给出了猜想；其结果均与实际情况有一定的差距，难以尽如人意。一直以来，数学家们都以为梅森素数的分布是随机的。然而，周海中却认为该素数的分布有规律可循，并以精确表达式给出了猜想。后来，这项重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。

周氏猜测的基本内容为：当2^(2^N)<P<2^(2^(N+1))时，Mp有2^（N+1）-1个是素数。周海中并据此做出推论：当P<2^(2^(N+1))时，Mp有2^(N+2)-N-2个是素数（注：P为素数；N为自然数，即0、1、2、3、4等等；Mp为梅森数）。

英国科学家艾萨克·牛顿说过：“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现。”经过长期而艰辛的探索，周海中终于在1992年2月大胆地提出了梅森素数分布的猜想，并给出它的精确表达式。这一成果为人们探究梅森素数提供了方便，是素数研究的一项重大突破。近年来周氏猜测受到专家关注和好评，而且在一些数学史、数学文化和数学难题的书籍中都有介绍。

美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为：“周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。”法籍华人数学家李明达在著名的《科学美国人》（中文版）中指出：“周氏猜测是梅森素数研究中的一项重大突破。”由中国数学家、中科院院士张景中主编的《30年科技成就100例》一书也指出：“周氏猜测具有数学之美。”

周氏猜测的表达式貌似简单，但破解(证明或证否)它的难度却很大。一直以来，这一猜测困扰数学界尤其数论界；就目前研究文献来看，许多数学家和数学爱好者都尝试过破解它；他们虽然绞尽脑汁，但仍一无所获。然而，我们坚信：随着数学方法和工具不断改进，周氏猜测最终会被破解。

文/郑小莉、雅克琳·马丹(作者系法国巴黎理工学院博士后)